# 第 4 课教师讲稿｜亲手走下损失小山：步子大就一定快吗？

本课在 AIPath 的第 1 阶段，沿用原课主题“训练就是下山：损失函数与梯度下降”。建议 60 分钟，一人一台电脑。先预测、再手算一个中间结果，最后操作页面。网站中的宏大问题在本课缩小为一个可重复的小过程；课堂程序只承担下文写明的计算，不代表真实产品的完整行为。

## 学完能做什么

- 能在给定平方损失下算出旧点坡度、一次更新与新损失。
- 能用同起点的小步、大步与零步长对照解释接近、越界和振荡。
- 能区分参数、学习率、损失，并限定训练损失下降所能支持的结论。

贯穿问题：**同一出发点，为什么有的步长接近目标，有的来回跳？**

## 课前准备与完整实验材料

教师先在本课页面找到“观察每一步的参数与损失”，核对输入框初始值。核心按钮名为“计算并查看过程”。请先自行完成默认、改变条件、独立题三次运行，确认本机能看到过程表；本地运算不需要账号或联网。初次投影时不要留着上一轮结果，让学生先在工作纸写预测。课堂使用学生工作纸，讲評再打开参考答案，避免学生边看答案边回填。

本课真实计算一条单参数平方曲线。预测等于参数 w，目标 y 固定；每一步都重新计算 g=2(w−y)，再同时更新这一项参数。

- 起点参数 w（输入框 `start`）初始为：

```text
0
```

- 目标 y（输入框 `target`）初始为：

```text
4
```

- 每步倍率（学习率）（输入框 `rate`）初始为：

```text
0.25
```

- 连续走几步（输入框 `steps`）初始为：

```text
2
```

按钮每次从“起点参数”重新开始，不是从上轮末尾接着走。教师应明确展示更新算式中的旧值。初学者可以用计算器，不要求先会导数；斜率解释安排在已看见一轮路线之后。

## 0—60 分钟：可以顺着使用的讲稿

### 0—4 分钟｜先给一个看得见的目标

教师可以这样说：“让机器输出一个数字，今天希望它输出 4。当前参数 w 就是预测值。如果 w=0，离目标差四；如果 w=3，差一。先把这个问题说成接近目标，再把衡量差距的数叫损失。”

**学生具体动作。** Q1 画数轴，标目标 4 与起点 0，先猜走两步会到哪里。

**教师在桌边怎样追问。** 距离目标近与程序已经到达目标是一回事吗？

**本段要收集的证据。** 起点、目标、第一次猜测分开。

### 4—8 分钟｜为什么差距还要平方

教师可以这样说：“这次约定损失是差距的平方：比目标小二与大二都记四分。平方不是全世界唯一的评价法，只是今天的规则。先把 w=0、2、4、6 各代一次，观察目标两侧的对称。”

**学生具体动作。** Q2 手算四个位置的损失并画高低点。

**教师在桌边怎样追问。** 为什么差为负时，损失仍能是正的？

**本段要收集的证据。** 四个位置的损失与平方依据。

### 8—12 分钟｜方向由当前点决定

教师可以这样说：“坡的方向不是凭感觉。对于这一条平方曲线，当前坡度可算成二乘当前差距。我们先给公式，稍后用左右挪一点的方法体会斜率。坡度为负时，减去它会让参数增大。”

**学生具体动作。** Q2 在 w=0 代入 g=2(w−4)，圈出两个负号的作用。

**教师在桌边怎样追问。** 更新式中的减号遇到负坡度，会往哪边走？

**本段要收集的证据。** 局部坡度和移动方向均写明。

### 12—16 分钟｜只走第一步

教师可以这样说：“更新是旧参数减去学习率乘坡度。学习率决定照这个方向走多远。先把 0、0.25、−8 放进式子，算出新参数，再用新参数算损失；不能把旧损失当作走完后的成绩。”

**学生具体动作。** 手算第一步参数与损失，再运行默认两步。

**教师在桌边怎样追问。** 为什么第二步不能继续抄第一步的坡度？

**本段要收集的证据。** 第一步和第二步各有自己的旧点。

### 16—20 分钟｜把运行表当成路线图

教师可以这样说：“现在逐行看表。每一行的损失属于这一行参数，更新算式来自上一行。路线向目标接近，不代表已经精确到达，也不说明在更复杂曲面一定只有一个谷底。”

**学生具体动作。** Q2 对照程序两步表，给每个坡度画回旧点的箭头。

**教师在桌边怎样追问。** 一个数属于更新前还是更新后，在哪里能查到？

**本段要收集的证据。** 两条更新箭头与损失行对应。

### 20—24 分钟｜把步子放大但先回原点

教师可以这样说：“把学习率改成 1.2，步数改为一，起点仍为零。先猜它会停在目标前、目标上还是跨过去。每次运行从起点重新开始，因此我们是在比较同一起点的方案，不是接着旧路线再走。”

**学生具体动作。** Q3 从同一起点运行学习率 1.2 的一步，记录参数和损失。

**教师在桌边怎样追问。** 跨过目标之后，新的损失要重新怎样算？

**本段要收集的证据。** 大步与小步的起点相同且结果分别记录。

### 24—28 分钟｜把局部坡度变得直观

教师可以这样说：“在同一位置左右各挪很小一点，比较损失变化，就能感受斜率告诉的是局部上升还是下降。它没有提供到谷底的完整地图。大步可能越过这段局部信息适用的范围。”

**学生具体动作。** 在纸上比较 w=0 与 w=0.1 的损失，说明往右最初怎样变化。

**教师在桌边怎样追问。** 往右开始下降，是否保证一直往右都下降？

**本段要收集的证据。** 局部变化与全程保证的区别。

### 28—32 分钟｜把三个不同的数分开

教师可以这样说：“w 是我们想调整的参数，学习率是调多少的设置，损失是评价当前结果的分数。它们可能都显示为小数，但职责不同。调学习率和已经更新参数，也不是同一时刻发生的操作。”

**学生具体动作。** 给本页三个框与损失列分别贴上参数、更新设置、评价。

**教师在桌边怎样追问。** 你把学习率改了但没运行，结果表属于哪一轮？

**本段要收集的证据。** 原轮次与新设置明确分离。

### 32—36 分钟｜什么时候算没有进步

教师可以这样说：“参数移动了，并不一定损失下降。学习率为零会原地不动，过大也可能反复越过目标。判断进步要先说明评价标准，再检查每一步，而不是看数字有没有变。”

**学生具体动作。** 给“参数变了所以训练成功”写反例思路。

**教师在桌边怎样追问。** 如果两步回到原点，路线长是否代表更有效？

**本段要收集的证据。** 反例联系损失而非移动距离。

### 36—40 分钟｜独立小步方案

教师可以这样说：“Q4 的目标是 6，起点是 2，不要沿用默认目标。先手算学习率四分之一的两步，再用页面复核。教师只检查旧点、新点和式子是否对应，暂不揭示数值结果。”

**学生具体动作。** Q4 设置 start=2、target=6、rate=0.25、steps=2 并先手算。

**教师在桌边怎样追问。** 你第二步使用的是哪一个旧参数？

**本段要收集的证据。** 两步各自的坡度与损失完整。

### 40—44 分钟｜独立大步方案

教师可以这样说：“另起一轮，同一目标和起点，学习率改为 1。请先写两次更新，不凭动画或感觉判断。若你发现某个数重复出现，说明它出现在哪个步骤，而不是直接抄一个“振荡”术语。”

**学生具体动作。** Q4 从 2 出发用学习率 1 连走两步，比较两轮损失轨迹。

**教师在桌边怎样追问。** 第二步方向为什么可能与第一步相反？

**本段要收集的证据。** 两轮都保留完整参数轨迹。

### 44—48 分钟｜两人对照算法顺序

教师可以这样说：“交换独立题，按预测、损失、坡度、更新、再预测的顺序逐项读给对方。发现用了旧坡度连续走第二步，就把第二步擦掉重算；第一步的原始记录保留。”

**学生具体动作。** Q5 复述一整步训练所包含的动作，并复核同伴一行。

**教师在桌边怎样追问。** 哪一个值必须在每次更新后重新计算？

**本段要收集的证据。** 动作顺序与实际行号联系。

### 48—52 分钟｜现在讲评两条路线

教师可以这样说：“目标六的独立题，小步路线参数二到四到五，损失十六到四到一；学习率一的路线二到十再到二，损失一直十六。运动与进步不同，大步反复越过最低点就是本例的解释。”

**学生具体动作。** 修订 Q4，写清同样起点却出现不同路线的原因。

**教师在桌边怎样追问。** 如果只看最后参数，你会漏掉什么过程？

**本段要收集的证据。** 修订指出学习率与局部坡度。

### 52—56 分钟｜不用求导也能检查说法

教师可以这样说：“Q5 可以先不要求学生推导公式，但要能把参数小幅改变后的损失算出来作检查。完整求导是下一层内容，不应让不懂符号的学生只能背“沿负梯度下降”。”

**学生具体动作。** Q5 在自己选的一个位置左右各改 0.1，比较损失。

**教师在桌边怎样追问。** 你用可计算的哪个变化支撑方向判断？

**本段要收集的证据。** 至少一对相邻位置的实际损失。

### 56—60 分钟｜离堂回到实际边界

教师可以这样说：“Q6 写下损失下降证明了什么：在这一个训练目标与公式下，当前数值更接近目标。它还不能证明陌生输入准确、任务定义正确或实际模型安全可靠。下一课就检查训练之外的材料。”

**学生具体动作。** Q6 用一条路线解释学习率，并写一个尚未验证的方面。

**教师在桌边怎样追问。** 今天是否包含独立测试数据？

**本段要收集的证据。** 路线证据加训练外边界。

## 教师的概念备查：先用上面的观察，再补准确说法

这部分供备课和讲评时查阅，不要求在第一分钟连续宣读。学生已经看到一个过程后，再用相应名称为过程命名。需要回答更深问题时，先说明小实验所固定的条件，避免从一个算例直接跳到所有大模型。

### 损失把偏差变成比较标准

参数好不好，需要先规定要比较的量。损失函数把预测与目标的差异压成一个数，优化程序据此寻找较小的值。今天预测就是参数w，目标是4，使用平方损失L=(w-4)²。平方使正负偏差都产生非负损失，并让较大的偏差受到更大的惩罚。这个标准由任务设计者选定；损失越小，只表示按此标准更接近目标，并不自动代表在现实中更有用或更公平。

可以补充的例子：w=0、2、4分别产生损失16、4、0；w=3和5都产生损失1，损失值本身不告诉你在目标哪边。

应当停住的推论：课堂只含一个样本和一个参数；真实训练通常对许多样本综合计算。

### 梯度是局部变化信息

损失像随参数位置变化的地形图。只有一个参数时，可以用坡度说明把w稍微增大，损失倾向于怎样变；多参数时对应信息合成梯度。今天直接使用g=2(w-4)，不要求推导。g为负说明当前位置向增大w的方向会先降低损失，g为正则相反。它描述的是附近的变化趋势，不是整条道路的保证；离开当前位置很远后，原坡度未必继续给出合适的步幅。

可以补充的例子：w=0时g=-8，w=5时g=2；两个位置都不能机械地“让w变小”。

应当停住的推论：梯度不是损失，也不是模型对答案的置信度；本课给出的g仅适用于指定L。

### 更新规则与学习率

最简单的梯度下降写成w新=w旧-η×g，其中η读作学习率，是本次沿负梯度走多远的系数。先用旧参数计算梯度，再一次更新，之后必须在新位置重新计算损失和梯度，不能永远沿用第一步的g。参数w与学习率η角色不同：前者在本题中被训练更新，后者由训练设置给定。步子太小可能进展慢，步子太大可能跨过较低位置甚至使损失增加。

可以补充的例子：w=0、η=0.25、g=-8，更新为2；到w=2重新算g=-4，下一步才得到3。

应当停住的推论：很多实际优化器还使用历史统计等机制；本课规则不能代表所有优化算法。

### 训练曲线与停止判断

训练曲线把每一步的损失记录下来，让我们检查程序是否按预期改善。下降是有用线索，但单步上升不一定代表代码错了，也可能来自学习率、批次噪声或数据变化；连续异常则需要排查。即使训练损失持续下降，仍可能在陌生数据上变差，下一课会用不同数据集检查。停止也不是等到宇宙中的所有错误消失，而是结合预算、改善幅度和验证表现作决定。

可以补充的例子：本课η=0.25的损失轨迹16→4→1；若第一步η=1.2，则w=9.6，损失31.36，高于16。

应当停住的推论：简单碗形例子不证明任意深层网络都能找到全局最优，也不保证每步损失单调下降。

## 后置讲评：独立尝试结束后才展开

Q1 不按猜测扣分。Q2 在 0、2、4、6 的损失是 16、4、0、4。初点 g=−8，学习率 0.25 后 w=2、L=4；重新算 g=−4，再得 w=3、L=1。

Q3 学习率 1.2 一步到 9.6，L=(9.6−4)²=31.36，比原始 16 更差；学习率为零仍停在起点。Q4 目标 6、起点 2 的小步路线为 2→4→5，损失 16→4→1；学习率 1 为 2→10→2，损失 16→16→16。

Q5 应从旧点计算当前预测、损失与坡度，更新后再评价；在 w=0 和 0.1、目标 4 时损失为 16 与 15.21，支持局部向右下降，不能推出一直向右下降。其他相邻点只要计算与方向一致均可。Q6 以大步轨迹作为参数变化而损失不降的证据；没有独立新数据，不能由训练例子的损失推出泛化。

## 板书、补救与课后加深

- 预测 w，目标 y，差距 w−y。
- 损失 L=(w−y)²；本例坡度 g=2(w−y)。
- 旧点 → 当前坡度 → 乘学习率 → 新点 → 重新评价。

使用本页相同的输入、步骤与判定规则在纸上完成，必要时用普通计算器。保留预测、中间量和最后核对，注明实际完成的是纸面复算。没有外部 AI 调用，不把这项工作说成已经得到某个产品的真实效果。

在纸上推导一元平方损失导数，画不同学习率轨迹；具备代码基础后用短程序记录曲线，再对比随机梯度与完整数据梯度。 深化内容另计时间；先保证本课独立练习完成。

## 来源和实际完成范围

- [AIPath 对应课](https://aipath.buynao.com/#/lesson/04-gradient-descent)：用作课序与主题对应。
- [Google：Gradient descent](https://developers.google.com/machine-learning/crash-course/linear-regression/gradient-descent)：核对损失、梯度和参数更新步骤；本课二次函数数值独立复算。

新增实验在浏览器本地计算，已用随课测试核对指定条件。纸面样本是为解释机制编写的，不是实际业务数据；未在此训练大模型，未做真人试教。


## 逐分钟安排

| 时间 | 教师讲解与操作 | 学生活动 | 检查结果 |
|---|---|---|---|
| 00:00—01:00 | 让机器输出一个数字，今天希望它输出 4。当前参数 w 就是预测值。如果 w=0，离目标差四；如果 w=3，差一。先把这个问题说成接近目标，再把衡量差距的数叫损失。 | 在工作纸记录本段问题：先给一个看得见的目标 | 保留一句关于“先给一个看得见的目标”的原始解释 |
| 01:00—02:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：Q1 画数轴，标目标 4 与起点 0，先猜走两步会到哪里 | Q1 画数轴，标目标 4 与起点 0，先猜走两步会到哪里 | 起点、目标、第一次猜测分开 |
| 02:00—03:00 | 逐人检查记录；只追问：距离目标近与程序已经到达目标是一回事吗？ | 对照刚才的输入和输出，回答：距离目标近与程序已经到达目标是一回事吗？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 03:00—04:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：起点、目标、第一次猜测分开。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在先给一个看得见的目标旁保留修订痕迹 | 起点、目标、第一次猜测分开 |
| 04:00—05:00 | 这次约定损失是差距的平方：比目标小二与大二都记四分。平方不是全世界唯一的评价法，只是今天的规则。先把 w=0、2、4、6 各代一次，观察目标两侧的对称。 | 在工作纸记录本段问题：为什么差距还要平方 | 保留一句关于“为什么差距还要平方”的原始解释 |
| 05:00—06:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：Q2 手算四个位置的损失并画高低点 | Q2 手算四个位置的损失并画高低点 | 四个位置的损失与平方依据 |
| 06:00—07:00 | 逐人检查记录；只追问：为什么差为负时，损失仍能是正的？ | 对照刚才的输入和输出，回答：为什么差为负时，损失仍能是正的？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 07:00—08:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：四个位置的损失与平方依据。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在为什么差距还要平方旁保留修订痕迹 | 四个位置的损失与平方依据 |
| 08:00—09:00 | 坡的方向不是凭感觉。对于这一条平方曲线，当前坡度可算成二乘当前差距。我们先给公式，稍后用左右挪一点的方法体会斜率。坡度为负时，减去它会让参数增大。 | 在工作纸记录本段问题：方向由当前点决定 | 保留一句关于“方向由当前点决定”的原始解释 |
| 09:00—10:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：Q2 在 w=0 代入 g=2(w−4)，圈出两个负号的作用 | Q2 在 w=0 代入 g=2(w−4)，圈出两个负号的作用 | 局部坡度和移动方向均写明 |
| 10:00—11:00 | 逐人检查记录；只追问：更新式中的减号遇到负坡度，会往哪边走？ | 对照刚才的输入和输出，回答：更新式中的减号遇到负坡度，会往哪边走？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 11:00—12:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：局部坡度和移动方向均写明。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在方向由当前点决定旁保留修订痕迹 | 局部坡度和移动方向均写明 |
| 12:00—13:00 | 更新是旧参数减去学习率乘坡度。学习率决定照这个方向走多远。先把 0、0.25、−8 放进式子，算出新参数，再用新参数算损失；不能把旧损失当作走完后的成绩。 | 在工作纸记录本段问题：只走第一步 | 保留一句关于“只走第一步”的原始解释 |
| 13:00—14:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：手算第一步参数与损失，再运行默认两步 | 手算第一步参数与损失，再运行默认两步 | 第一步和第二步各有自己的旧点 |
| 14:00—15:00 | 逐人检查记录；只追问：为什么第二步不能继续抄第一步的坡度？ | 对照刚才的输入和输出，回答：为什么第二步不能继续抄第一步的坡度？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 15:00—16:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：第一步和第二步各有自己的旧点。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在只走第一步旁保留修订痕迹 | 第一步和第二步各有自己的旧点 |
| 16:00—17:00 | 现在逐行看表。每一行的损失属于这一行参数，更新算式来自上一行。路线向目标接近，不代表已经精确到达，也不说明在更复杂曲面一定只有一个谷底。 | 在工作纸记录本段问题：把运行表当成路线图 | 保留一句关于“把运行表当成路线图”的原始解释 |
| 17:00—18:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：Q2 对照程序两步表，给每个坡度画回旧点的箭头 | Q2 对照程序两步表，给每个坡度画回旧点的箭头 | 两条更新箭头与损失行对应 |
| 18:00—19:00 | 逐人检查记录；只追问：一个数属于更新前还是更新后，在哪里能查到？ | 对照刚才的输入和输出，回答：一个数属于更新前还是更新后，在哪里能查到？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 19:00—20:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：两条更新箭头与损失行对应。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在把运行表当成路线图旁保留修订痕迹 | 两条更新箭头与损失行对应 |
| 20:00—21:00 | 把学习率改成 1.2，步数改为一，起点仍为零。先猜它会停在目标前、目标上还是跨过去。每次运行从起点重新开始，因此我们是在比较同一起点的方案，不是接着旧路线再走。 | 在工作纸记录本段问题：把步子放大但先回原点 | 保留一句关于“把步子放大但先回原点”的原始解释 |
| 21:00—22:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：Q3 从同一起点运行学习率 1.2 的一步，记录参数和损失 | Q3 从同一起点运行学习率 1.2 的一步，记录参数和损失 | 大步与小步的起点相同且结果分别记录 |
| 22:00—23:00 | 逐人检查记录；只追问：跨过目标之后，新的损失要重新怎样算？ | 对照刚才的输入和输出，回答：跨过目标之后，新的损失要重新怎样算？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 23:00—24:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：大步与小步的起点相同且结果分别记录。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在把步子放大但先回原点旁保留修订痕迹 | 大步与小步的起点相同且结果分别记录 |
| 24:00—25:00 | 在同一位置左右各挪很小一点，比较损失变化，就能感受斜率告诉的是局部上升还是下降。它没有提供到谷底的完整地图。大步可能越过这段局部信息适用的范围。 | 在工作纸记录本段问题：把局部坡度变得直观 | 保留一句关于“把局部坡度变得直观”的原始解释 |
| 25:00—26:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：在纸上比较 w=0 与 w=0.1 的损失，说明往右最初怎样变化 | 在纸上比较 w=0 与 w=0.1 的损失，说明往右最初怎样变化 | 局部变化与全程保证的区别 |
| 26:00—27:00 | 逐人检查记录；只追问：往右开始下降，是否保证一直往右都下降？ | 对照刚才的输入和输出，回答：往右开始下降，是否保证一直往右都下降？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 27:00—28:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：局部变化与全程保证的区别。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在把局部坡度变得直观旁保留修订痕迹 | 局部变化与全程保证的区别 |
| 28:00—29:00 | w 是我们想调整的参数，学习率是调多少的设置，损失是评价当前结果的分数。它们可能都显示为小数，但职责不同。调学习率和已经更新参数，也不是同一时刻发生的操作。 | 在工作纸记录本段问题：把三个不同的数分开 | 保留一句关于“把三个不同的数分开”的原始解释 |
| 29:00—30:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：给本页三个框与损失列分别贴上参数、更新设置、评价 | 给本页三个框与损失列分别贴上参数、更新设置、评价 | 原轮次与新设置明确分离 |
| 30:00—31:00 | 逐人检查记录；只追问：你把学习率改了但没运行，结果表属于哪一轮？ | 对照刚才的输入和输出，回答：你把学习率改了但没运行，结果表属于哪一轮？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 31:00—32:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：原轮次与新设置明确分离。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在把三个不同的数分开旁保留修订痕迹 | 原轮次与新设置明确分离 |
| 32:00—33:00 | 参数移动了，并不一定损失下降。学习率为零会原地不动，过大也可能反复越过目标。判断进步要先说明评价标准，再检查每一步，而不是看数字有没有变。 | 在工作纸记录本段问题：什么时候算没有进步 | 保留一句关于“什么时候算没有进步”的原始解释 |
| 33:00—34:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：给“参数变了所以训练成功”写反例思路 | 给“参数变了所以训练成功”写反例思路 | 反例联系损失而非移动距离 |
| 34:00—35:00 | 逐人检查记录；只追问：如果两步回到原点，路线长是否代表更有效？ | 对照刚才的输入和输出，回答：如果两步回到原点，路线长是否代表更有效？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 35:00—36:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：反例联系损失而非移动距离。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在什么时候算没有进步旁保留修订痕迹 | 反例联系损失而非移动距离 |
| 36:00—37:00 | Q4 的目标是 6，起点是 2，不要沿用默认目标。先手算学习率四分之一的两步，再用页面复核。教师只检查旧点、新点和式子是否对应，暂不揭示数值结果。 | 在工作纸记录本段问题：独立小步方案 | 保留一句关于“独立小步方案”的原始解释 |
| 37:00—38:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：Q4 设置 start=2、target=6、rate=0.25、steps=2 并先手算 | Q4 设置 start=2、target=6、rate=0.25、steps=2 并先手算 | 两步各自的坡度与损失完整 |
| 38:00—39:00 | 逐人检查记录；只追问：你第二步使用的是哪一个旧参数？ | 对照刚才的输入和输出，回答：你第二步使用的是哪一个旧参数？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 39:00—40:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：两步各自的坡度与损失完整。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在独立小步方案旁保留修订痕迹 | 两步各自的坡度与损失完整 |
| 40:00—41:00 | 另起一轮，同一目标和起点，学习率改为 1。请先写两次更新，不凭动画或感觉判断。若你发现某个数重复出现，说明它出现在哪个步骤，而不是直接抄一个“振荡”术语。 | 在工作纸记录本段问题：独立大步方案 | 保留一句关于“独立大步方案”的原始解释 |
| 41:00—42:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：Q4 从 2 出发用学习率 1 连走两步，比较两轮损失轨迹 | Q4 从 2 出发用学习率 1 连走两步，比较两轮损失轨迹 | 两轮都保留完整参数轨迹 |
| 42:00—43:00 | 逐人检查记录；只追问：第二步方向为什么可能与第一步相反？ | 对照刚才的输入和输出，回答：第二步方向为什么可能与第一步相反？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 43:00—44:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：两轮都保留完整参数轨迹。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在独立大步方案旁保留修订痕迹 | 两轮都保留完整参数轨迹 |
| 44:00—45:00 | 交换独立题，按预测、损失、坡度、更新、再预测的顺序逐项读给对方。发现用了旧坡度连续走第二步，就把第二步擦掉重算；第一步的原始记录保留。 | 在工作纸记录本段问题：两人对照算法顺序 | 保留一句关于“两人对照算法顺序”的原始解释 |
| 45:00—46:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：Q5 复述一整步训练所包含的动作，并复核同伴一行 | Q5 复述一整步训练所包含的动作，并复核同伴一行 | 动作顺序与实际行号联系 |
| 46:00—47:00 | 逐人检查记录；只追问：哪一个值必须在每次更新后重新计算？ | 对照刚才的输入和输出，回答：哪一个值必须在每次更新后重新计算？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 47:00—48:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：动作顺序与实际行号联系。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在两人对照算法顺序旁保留修订痕迹 | 动作顺序与实际行号联系 |
| 48:00—49:00 | 目标六的独立题，小步路线参数二到四到五，损失十六到四到一；学习率一的路线二到十再到二，损失一直十六。运动与进步不同，大步反复越过最低点就是本例的解释。 | 在工作纸记录本段问题：现在讲评两条路线 | 保留一句关于“现在讲评两条路线”的原始解释 |
| 49:00—50:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：修订 Q4，写清同样起点却出现不同路线的原因 | 修订 Q4，写清同样起点却出现不同路线的原因 | 修订指出学习率与局部坡度 |
| 50:00—51:00 | 逐人检查记录；只追问：如果只看最后参数，你会漏掉什么过程？ | 对照刚才的输入和输出，回答：如果只看最后参数，你会漏掉什么过程？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 51:00—52:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：修订指出学习率与局部坡度。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在现在讲评两条路线旁保留修订痕迹 | 修订指出学习率与局部坡度 |
| 52:00—53:00 | Q5 可以先不要求学生推导公式，但要能把参数小幅改变后的损失算出来作检查。完整求导是下一层内容，不应让不懂符号的学生只能背“沿负梯度下降”。 | 在工作纸记录本段问题：不用求导也能检查说法 | 保留一句关于“不用求导也能检查说法”的原始解释 |
| 53:00—54:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：Q5 在自己选的一个位置左右各改 0.1，比较损失 | Q5 在自己选的一个位置左右各改 0.1，比较损失 | 至少一对相邻位置的实际损失 |
| 54:00—55:00 | 逐人检查记录；只追问：你用可计算的哪个变化支撑方向判断？ | 对照刚才的输入和输出，回答：你用可计算的哪个变化支撑方向判断？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 55:00—56:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：至少一对相邻位置的实际损失。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在不用求导也能检查说法旁保留修订痕迹 | 至少一对相邻位置的实际损失 |
| 56:00—57:00 | Q6 写下损失下降证明了什么：在这一个训练目标与公式下，当前数值更接近目标。它还不能证明陌生输入准确、任务定义正确或实际模型安全可靠。下一课就检查训练之外的材料。 | 在工作纸记录本段问题：离堂回到实际边界 | 保留一句关于“离堂回到实际边界”的原始解释 |
| 57:00—58:00 | 把本段材料留在屏幕，说明操作：Q6 用一条路线解释学习率，并写一个尚未验证的方面 | Q6 用一条路线解释学习率，并写一个尚未验证的方面 | 路线证据加训练外边界 |
| 58:00—59:00 | 逐人检查记录；只追问：今天是否包含独立测试数据？ | 对照刚才的输入和输出，回答：今天是否包含独立测试数据？ | 回答中标出本段的输入条件和一个中间量 |
| 59:00—60:00 | 请一位学生读记录，检查是否完成：路线证据加训练外边界。未完成者先补材料，不用口号替代依据。 | 将本段观察写为“条件—过程—结果”，在离堂回到实际边界旁保留修订痕迹 | 路线证据加训练外边界 |

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# 第 4 课参考答案与评分｜亲手走下损失小山：步子大就一定快吗？

仅在独立题结束后展开。首次预测不按对错扣分；下列固定算例的答案来自明确的输入与算法。

Q1 不按猜测扣分。Q2 在 0、2、4、6 的损失是 16、4、0、4。初点 g=−8，学习率 0.25 后 w=2、L=4；重新算 g=−4，再得 w=3、L=1。

Q3 学习率 1.2 一步到 9.6，L=(9.6−4)²=31.36，比原始 16 更差；学习率为零仍停在起点。Q4 目标 6、起点 2 的小步路线为 2→4→5，损失 16→4→1；学习率 1 为 2→10→2，损失 16→16→16。

Q5 应从旧点计算当前预测、损失与坡度，更新后再评价；在 w=0 和 0.1、目标 4 时损失为 16 与 15.21，支持局部向右下降，不能推出一直向右下降。其他相邻点只要计算与方向一致均可。Q6 以大步轨迹作为参数变化而损失不降的证据；没有独立新数据，不能由训练例子的损失推出泛化。

## 10 分评分

Q4 的两条轨迹应从同一个 w=2 开始。方案 A 第一步坡度 −8、改变量 −2，所以新值为 4；第二步坡度 −4、新值为 5。方案 B 第一步从 2 跳到 10，第二步坡度变成 +8，再退回 2。如果学生第二步仍用 −8，会得到错误的持续向右移动；这说明漏掉“在新位置重新计算”的步骤。损失曲线的高低由平方差决定，位置跨到目标右侧并不必然失败，要实际比较新旧损失。

- Q1—Q2：保留预测并正确展示默认条件的一个手算中间量，2 分；不因预测猜错扣分。
- Q3：按题目只改一个条件，记录原值、新值和实际变化，2 分。
- Q4：独立材料中的计算或检查过程可复算，2 分。
- Q5：解释本课机制并指出证据对应哪一步，2 分。
- Q6：迁移题与离堂题明确实验边界，2 分。

评分时应接受含义相同的学生表述。若输入条件与题目不同，先标记为另一轮实验，再要求补做指定条件；不要将不同条件的输出直接判成同一题的答案。