第 8 课教师讲稿｜把相关内容放在地图上，再亲手算距离

本课在 AIPath 的第 2 阶段，沿用原课主题“词变成数字：Embedding 与向量空间”。建议 60 分钟，一人一台电脑。先预测、再手算一个中间结果，最后操作页面。网站中的宏大问题在本课缩小为一个可重复的小过程；课堂程序只承担下文写明的计算，不代表真实产品的完整行为。

学完能做什么

• 能用同一空间的坐标分别计算平方距离与绝对值距离并排序。
• 能区分编号、起始向量与上下文加工，不把显示顺序当作语义或可信度。
• 能说明最近条目只是相关候选，并列出事实核验所需的原文、日期和适用条件。

贯穿问题：找到了最近的句子，为什么还不能直接宣布它正确？

课前准备与完整实验材料

教师先在本课页面找到“二维文本坐标与距离排序”，核对输入框初始值。核心按钮名为“计算并查看过程”。请先自行完成默认、改变条件、独立题三次运行，确认本机能看到过程表；本地运算不需要账号或联网。初次投影时不要留着上一轮结果，让学生先在工作纸写预测。课堂使用学生工作纸，讲評再打开参考答案，避免学生边看答案边回填。

二维坐标由教师指定。输入解析、距离计算、稳定排序由本页真实执行，未调用任何嵌入 API。并列保持原输入顺序，这只是显示规则。

• 查询的第一坐标（输入框 qx）初始为：

1

• 查询的第二坐标（输入框 qy）初始为：

1

• 条目：每行 编号|句子|第一坐标|第二坐标（输入框 items）初始为：

A|杯子可以借用|1|2
B|杯子禁止借用|2|1
C|今晚有流星|4|5
D|杯子借用流程|1|1.5

• 距离规则（输入框 metric）初始为：

squared

教师先手算 A；独立题必须恢复平方距离。文本框每行四段，以竖线分隔，句子中不要额外插入竖线。程序显示任何用户文本均按普通文字处理。

0—60 分钟：可以顺着使用的讲稿

0—4 分钟｜从熟悉的地图开始

教师可以这样说：“上一课把小图块变成数值响应；今天看文字怎样用数字比较。先想地图上两地点的位置：编号告诉你是哪一家店，坐标让你算相隔多远。编号相邻，不代表店铺也相邻。”

学生具体动作。 Q1 解释店铺编号 101 与 102 是否一定更近。

教师在桌边怎样追问。 编号和位置各自承担什么用途？

本段要收集的证据。 索引与坐标的区别。

4—8 分钟｜给句子放上手工坐标

教师可以这样说：“四句文字各配两个数，今天这些坐标由教师指定，不是运行嵌入模型得到。我们先用它们练比较方法；真实文本怎样变成合适坐标，需要训练出的嵌入模型承担。”

学生具体动作。 Q2 在纸上标查询(1,1)和 A—D 四点。

教师在桌边怎样追问。 这张图的两个轴是否已被定义成真实语言属性？

本段要收集的证据。 承认手工坐标与轴含义的边界。

8—12 分钟｜先猜最近但保留矛盾

教师可以这样说：“A 说可以借，B 说禁止借。它们都与借杯子相关，所以相关性相近不奇怪；是否正确则需要规定和日期。先猜哪点最近，不要因喜欢某句话就移动坐标。”

学生具体动作。 Q2 写最近点猜测，圈出内容互相矛盾的一对。

教师在桌边怎样追问。 相关同一主题是否等于意思完全相同？

本段要收集的证据。 距离猜测与真伪判断分开。

12—16 分钟｜只手算第一条

教师可以这样说：“平方距离先分别算两个方向差多少，再各自平方相加。A 与查询只在第二坐标差一，另一项为零。我们不用开平方，因为这次只排序，非负平方距离保持欧氏距离的次序。”

学生具体动作。 Q2 手算 A 的两项差和平方和。

教师在桌边怎样追问。 能否把两个差先相加再平方当同一公式？

本段要收集的证据。 两维分别计算且公式一致。

16—20 分钟｜把四条都算完

教师可以这样说：“对 B、C、D 依次用同一把尺子。D 的半格差平方后是四分之一，不是二分之一。全部算完才运行，这样学生可以定位自己在哪一维或哪次平方出错。”

学生具体动作。 运行默认四条，对照每条距离与排序。

教师在桌边怎样追问。 半格的平方为什么小于半格本身？

本段要收集的证据。 四条距离与中间差值齐全。

20—24 分钟｜排序并没有选择真理

教师可以这样说：“程序只拿数值排序，没有打开官方规定，也没检查是否过期。最近的“杯子借用流程”甚至未直接回答能否借。检索通常先提供候选材料，后面仍要看原文和适用条件。”

学生具体动作。 Q3 写最近结果能支持什么，不能支持什么。

教师在桌边怎样追问。 返回一份流程标题，是否已经知道允许或禁止？

本段要收集的证据。 候选线索与已核事实分开。

24—28 分钟｜只换距离尺子

教师可以这样说：“保持坐标，改成两个绝对差相加。这次无需平方。先猜数值会不会变，以及名次是否一定变；不同量尺可能同序，也可能在其他材料上不同，必须实际计算。”

学生具体动作。 Q3 切换绝对值规则，记录四条新距离。

教师在桌边怎样追问。 这一轮改变的是文本、坐标还是度量规则？

本段要收集的证据。 单变量对照与实际名次记录。

28—32 分钟｜把输入语境加进来

教师可以这样说：““鼠标放进电脑包”和“小鼠躲进纸箱”有相似字，却是不同语境。静态入口表中的同一编号可以起点相同，后续网络加工后表示随上下文变化。不能由回答变了推断权重已训练。”

学生具体动作。 Q5 把入口查表与后续结合上下文画两步。

教师在桌边怎样追问。 上下文变了就一定意味着入口词表被更新吗？

本段要收集的证据。 入口表示与上下文加工分开。

32—36 分钟｜限制二维图的想象

教师可以这样说：“真实嵌入常有更多维度，坐标轴不一定能给出一句人话名称。我们的二维图帮助理解比较，不是把真实语言完整压成四个点。不同模型坐标不能未经处理直接混合算距离。”

学生具体动作。 给“不同模型输出向量可直接混用”写待查条件。

教师在桌边怎样追问。 坐标来自同一空间和同一处理规则吗？

本段要收集的证据。 指出空间与度量兼容要求。

36—40 分钟｜独立新材料排序

教师可以这样说：“Q4 更换查询和全部条目。先检查输入框有没有完整替换，按平方距离手算，暂不看答案。P 与 Q 的句子只有否定不同，正是检查相关性和真伪区别的材料。”

学生具体动作。 Q4 计算 q=(0,2) 与 P、Q、R、S 的四个距离。

教师在桌边怎样追问。 你是否还沿用默认查询(1,1)或绝对值规则？

本段要收集的证据。 新查询与平方规则明确。

40—44 分钟｜独立写出需要补的证据

教师可以这样说：“继续 Q4：即便找到最近条目，也要回答还需查什么。请具体写发布来源、适用日期、开放对象等检查项，不要只说“再核验一下”。教师这时只追问材料条件。”

学生具体动作。 Q4 排序后写能否判断周一开放，以及所缺证据。

教师在桌边怎样追问。 哪条材料实际包含有效的开放规定全文？

本段要收集的证据。 缺失证据具体到原文条件。

44—48 分钟｜交换坐标检查

教师可以这样说：“同伴先按你的输入重跑，再核对文字有没有与坐标错行。数字算对但句子错配，会导致完全不同的解读。整齐的表格不是正确性的保证，仍需要保持行对应。”

学生具体动作。 Q5 检查同伴一条句子、编号、坐标与距离是否同一行。

教师在桌边怎样追问。 是否只抄了排序编号，却丢掉对应文本？

本段要收集的证据。 行级来源链完整。

48—52 分钟｜现在讲评独立距离

教师可以这样说：“新题 R 为 0.25，P 与 Q 都为一，S 为十八。最近仍只是候选。P 与 Q 相互冲突，不能以并列输入顺序决定谁是真的；稳定排序只是显示约定。”

学生具体动作。 修订 Q4，并把并列顺序与事实真假分开写。

教师在桌边怎样追问。 先显示 P 是否表示它比 Q 更可信？

本段要收集的证据。 讲评注明并列与显示规则。

52—56 分钟｜把检索结果写成谨慎回复

教师可以这样说：“Q6 假设同学问周一能否进实验室。可以说找到了相关安排，需要读取有效规则，而不是从向量距离猜一个开放结论。能承认材料不够，是正确使用工具的重要部分。”

学生具体动作。 Q6 写一段只基于当前材料的答复。

教师在桌边怎样追问。 答复中的每一条事实有没有原文支持？

本段要收集的证据。 没有越过材料证据的回答。

56—60 分钟｜离堂留下三步链条

教师可以这样说：“今天要带走的是文字对应数值、按规定算相近、回到原文核验。第一步本页用手工坐标替代了真实模型，第二步确实执行，第三步需要真实来源；三者不能混作已完成。”

学生具体动作。 Q6 标注三步中本页实际执行与尚未执行的部分。

教师在桌边怎样追问。 页面是否真的调用了嵌入服务？

本段要收集的证据。 完成范围与事实核验边界。

教师的概念备查：先用上面的观察，再补准确说法

这部分供备课和讲评时查阅，不要求在第一分钟连续宣读。学生已经看到一个过程后，再用相应名称为过程命名。需要回答更深问题时，先说明小实验所固定的条件，避免从一个算例直接跳到所有大模型。

编号与向量不是一回事

文本先切成可处理的小块并编号，编号用于找到词表中的条目，并不天然表达意义上的接近。Embedding译为嵌入，用有序数字向量表示这些条目，让后续模型能够进行乘加和比较。最简单的静态嵌入像一张可学习表，给定编号就取出一行数字。编号相邻的两个词不必相似，向量的坐标顺序却必须保持；如果把第二维和第一维任意交换，原来的比较规则就被改了。

可以补充的例子：编号101对应“茶杯”，509对应“水杯”；在玩具表里向量可很接近。101与102编号更近并不提供语义证据。

应当停住的推论：向量不是把词典释义逐字藏进某个坐标，本课二维仅为教师示意。

距离与相似度的条件

向量允许我们定义相似度，但先要明确度量方式。今天用平方欧氏距离，把各维差平方后相加，数值越小表示在本套坐标和度量下越近。无需开平方就能排序，因为非负数开方不改变大小顺序。实际系统也常用余弦相似度等指标，不同模型、尺度或度量未必产生同一排序。距离是模型表示的关系，不是一条“两个句子意思完全相同”的事实证明。

可以补充的例子：q=(1,1)、a=(1,2)，平方距离为0²+(-1)²=1；c=(4,5)的平方距离为9+16=25。

应当停住的推论：不能把未归一化向量的欧氏距离阈值直接搬到另一种模型或向量空间。

嵌入如何学到关系

真实嵌入中的数字通常与任务一起通过训练确定。输入经过向量进入后续计算，损失对这些数产生梯度，优化器改变它们，使任务表现逐步改善。出现在类似语境的文本可能形成某些相近关系，但训练目标不同，空间性质也不同，不能保证所有近义词都近、所有反义词都远。维度往往共同编码多种信息；给每个轴起一个固定人类概念名只是课堂方便，不是对真实参数的发现。

可以补充的例子：“允许借用”和“禁止借用”都可能出现在器材管理语境，向量很近却表达相反规定。必须阅读否定词。

应当停住的推论：本课坐标人工指定，并未从语料训练出来；不能称手算排序为模型准确率。

静态入口与语境化表示

同一个文本块在静态嵌入表里通常取同一行起始向量，但进入网络后会结合其他位置的信息，形成依赖上下文的中间表示。于是同一词在两句话里可以得到不同后续向量，而不必修改入口表的参数。这一变化属于对当前输入的计算。后续注意力课会解释一种交换信息的机制。句子检索向量又可能由专门编码器和汇总规则产生，不能把所有“向量”都当同一张词表。

可以补充的例子：“这件衣服很轻”和“他轻轻关门”中的相关文本块，后续表示可以因上下文不同而变化；固定参数也能做到。

应当停住的推论：二维或三维投影会失真，图上看近不能取代原始高维空间和实际任务评估。

后置讲评：独立尝试结束后才展开

Q2 平方距离 A=1、B=1、C=25、D=0.25；D 最近，A/B 并列。Q3 绝对值距离 A=1、B=1、C=7、D=0.5，本材料名次不变，不能推广为所有材料都不变。

Q4 R=0.25、P=1、Q=1、S=18，R 最近、P/Q 并列、S 最远。P/Q 互相矛盾，距离与输入先后都不能决定真伪；需有效来源、完整规则、日期、适用对象等。Q5 入口静态查表可相同，后续上下文加工可以不同，不证明参数更新。

Q6 可答：目前找到与开放有关的候选条目，但标题或相似度不足以确认周一开放，应查看有效安排原文。本页实际进行了手工坐标的距离计算和排序，没有取得真实嵌入或核验实际规定。

板书、补救与课后加深

• 编号负责对应；坐标参与比较。
• 先算距离，再看原文与有效范围。
• 相关 ≠ 同义 ≠ 已验证正确。

使用本页相同的输入、步骤与判定规则在纸上完成，必要时用普通计算器。保留预测、中间量和最后核对，注明实际完成的是纸面复算。没有外部 AI 调用，不把这项工作说成已经得到某个产品的真实效果。

用真实开源嵌入模型比较欧氏距离与余弦相似度，记录模型版本、归一化与输入；再看二维投影如何改变邻居关系。矩阵计算和训练代码待深度确认。 深化内容另计时间；先保证本课独立练习完成。

来源和实际完成范围

• AIPath 对应课：用作课序与主题对应。
• Google：Embedding space and static embeddings：核对低维表示与距离关系；二维向量均为手工设置，并非真实模型输出。
• Vaswani et al.：Attention Is All You Need（2017）：核对查询、键、值、注意力加权及 Transformer 构件；不把原论文架构当所有产品的内部图。

新增实验在浏览器本地计算，已用随课测试核对指定条件。纸面样本是为解释机制编写的，不是实际业务数据；未在此训练大模型，未做真人试教。